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\begin{document}

\begin{center}
  {\bf {\Large Résumé des travaux}}\\
\textsc{David Coeurjolly}

\end{center}


Le contexte général de mes activités de recherche est la
\emph{géométrie discrète}.  Cette thématique s'intègre, au moins d'un
point de vue historique, dans l'analyse de formes dans des images
numériques.  En effet, de nombreux systèmes d'acquisition de données
images fournissent des données organisées sur une grille régulière,
appelées {\it données discrètes}.  Que ce soit pour une visualisation
ou pour l'extraction de mesures sur ces objets discrets (paramètres de
formes), les axiomes et théorèmes de la géométrie euclidienne ne sont
pas directement applicables.  Deux solutions s'offrent à nous.  La
première consiste à plonger les données discrètes dans un espace
continu où ces théorèmes et mesures sont définis (par exemple en
utilisant des processus d'interpolation).  La seconde se base sur une
transposition de ces théorèmes et mesures dans l'espace discret.  Ces
différentes re-définitions donnent lieu au paradigme mathématique et
informatique qu'est {\it la géométrie discrète}.

Au fil du temps et des développements, de nombreuses connexions ont
été mises en évidence avec de nombreuses thématiques des mathématiques
(géométrie, topologie, arithmétique, théorie des nombres,
combinatoire, analyse non-standard,\ldots), du traitement du signal,
et de l'informatique (algorithmique, géométrie algorithmique,
complexité,\ldots).

Si le spectre de la géométrie discrète est très large, les travaux que
j'ai menés portent sur l'analyse de solutions algorithmiques à des
problèmes de géométrie discrets.  Plus précisément, nous nous
intéréssons à des algorithmes \emph{exacts} dans le sens où nous
cherchons à contrôler l'exactitude des calculs par l'utilisation
d'arithmétique exacte~; mais aussi l'exactitude de l'analyse de
complexité~: nous cherchons des algorithmes efficaces dont le coût
algorithmique est borné de la manière la plus fine possible.
 
Pour arriver à ces deux objectifs, nous avons utilisé des outils de
divers domaines~:
\begin{itemize}
\item d'une arithmétique dédiée à la manipulation numérique de
  quantités continues, faisant le lien entre \emph{supercouverture} et
  \emph{arithmétique d'intervalles}~;
\item de l'algorithmique et de l'arithmétique entière ou plus
  précisément des outils de programmation linéaire entière pour
  l'analyse de certains objets discrets (\emph{préimage}, convexes
  discrets,\ldots)~;
\item de la géométrie algorithmique dans les développements liés aux
  transformations en distance ou à l'extraction de l'axe médian~;
\item de l'algorithmique de manière transversale à tous les chapitres
  et plus précisément concernant les preuves de NP-complétude de la
  segmentation en plans discrets ou de la minimalité de l'axe
  médian.
\end{itemize}

\end{document}


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%%% End: