Entre_desigualdades.md

Título	Autor
En ℝ, x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ y ≰ x.	José A. Alonso

[mathjax]

Demostrar con Lean4 que. en \(ℝ\), \(x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ y ≰ x\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x y : ℝ)

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Supongamos que \begin{align} x ≤ y \tag{1} \\ x ≠ y \tag{2} \end{align} Entonces, se tiene \(x ≤ y\) (por (1)) y, para probar \(y ≰ x\), supongamos que \[ y ≤ x \tag{3}\] Aplicando la propiedad antimétrica a (1) y (3), se obtiene que \(x = y\), en contradicción con (2).

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x y : ℝ)

-- 1ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩
  constructor
  . show x ≤ y
    exact h1
  . show ¬ y ≤ x
    rintro h3 : y ≤ x
    -- ⊢ False
    have h4 : x = y := le_antisymm h1 h3
    show False
    exact h2 h4

-- 2ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩
  -- ⊢ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x
  constructor
  . show x ≤ y
    exact h1
  . show ¬ y ≤ x
    rintro h3 : y ≤ x
    -- ⊢ False
    show False
    exact h2 (le_antisymm h1 h3)

-- 3ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩
  constructor
  . show x ≤ y
    exact h1
  . show ¬ y ≤ x
    exact fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)

-- 4ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1, h2⟩
  exact ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)⟩

-- 5ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
  fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)⟩

-- 6ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩
  use h1
  exact fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)

-- 7ª demostración
-- ===============

example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x :=
by
  rintro ⟨h1, h2⟩
  -- h1 : x ≤ y
  -- h2 : x ≠ y
  -- ⊢ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x
  use h1
  -- ¬y ≤ x
  contrapose! h2
  -- h2 : y ≤ x
  -- ⊢ x = y
  apply le_antisymm h1 h2

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias

• J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 36.