Opuesto_del_cero.md

Título	Autor
Si R es un anillo, entonces -0 = 0	José A. Alonso

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo, entonces

   -0 = 0

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

example : (-0 : R) = 0 :=
sorry

Demostraciones en lenguaje natural (LN)

[mathjax] 1ª demostración en LN

Por la suma con cero se tiene [0 + 0 = 0] Aplicándole la propiedad [\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b] se obtiene [-0 = 0]

2ª demostración en LN

Puesto que [\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b] basta demostrar que [0 + 0 = 0] que es cierta por la suma con cero.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

-- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  have h1 : (0 : R) + 0 = 0 := add_zero 0
  show (-0 : R) = 0
  exact neg_eq_of_add_eq_zero_left h1

-- 2ª demostración (basada en la 2ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  apply neg_eq_of_add_eq_zero_left
  rw [add_zero]

-- 3ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
  neg_zero

-- 4ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
by simp

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias

• J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.