a(bc)_eq_b(ac).md

Título	Autor
∀ a b c ∈ ℝ, a(bc) = b(ac)	José A. Alonso

Demostrar con Lean4 que ∀ a b c ∈ ℝ, a * (b * c) = b * (a * c)

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

[mathjax] Por la siguiente cadena de igualdades: \begin{align} a(bc) &= (ab)c &&\text{[por la asociativa]} \ &= (ba)c &&\text{[por la conmutativa]} \ &= b(ac) &&\text{[por la asociativa]} \end{align}

Demostraciones con Lean

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- 1ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
calc
  a * (b * c)
    = (a * b) * c := by rw [←mul_assoc]
  _ = (b * a) * c := by rw [mul_comm a b]
  _ = b * (a * c) := by rw [mul_assoc]

-- 1ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by
  rw [←mul_assoc]
  rw [mul_comm a b]
  rw [mul_assoc]

-- 3ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by ring

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias

• J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 6.