06-esptemp.Rmd

# Procesos espacio-temporales {#esp-temp}

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title: "Estadística Espacial"
author: "Análisis estadístico de datos con dependencia (GCED)"
date: "Curso 2021/2022"
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***En preparación...***

Como ya se comentó en el Capítulo 1 se puede pensar en un procesos espacio-temporal como un caso particular de un proceso espacial en el que una de las componentes es el tiempo.
Sin embargo, para enfatizar el carácter temporal, se utilizará una notación de la forma:
$$\left\{ Z(\mathbf{s},t):(\mathbf{s},t)\in D\times T\right\}$$
donde $D\times T\subset \mathbb{R} ^{d} \times \mathbb{R}^{+,0}$, para
referirse a un proceso espacio-temporal. 

En algunos casos los procesos espacio-temporales son modelados también
como procesos espaciales multivariantes (e.g. Egbert y Lettenmaier,
1986; Kyriakidis y Journel, 1999). 

Por ejemplo, se puede considerar una representación de la forma:

$$Z(\mathbf{s},t)=\mathbf{Z}(\mathbf{s})=(Z_{1} (\mathbf{s}), \ldots,Z_{k} (
\mathbf{s}))^\top,$$
donde
$$Z_{i} (\mathbf{s})=Z(\mathbf{s},t_{i} ),\  i=1, \ldots,k.$$ 
O también:
$$Z(\mathbf{s},t) = \mathbf{Z}(t) =  \left(Z_{1}(t), \ldots, Z_{n}(t) \right)^\top,$$
siendo
$$Z_{j} (t)=Z(\mathbf{s}_{j} ,t),\  j=1, \ldots,n.$$
Uno de los principales problemas al utilizar estas aproximaciones es que, utilizando los modelos geoestadísticos tradicionales, no es posible la
predicción en todas las posiciones espacio-temporales sin algún tipo de
modelado adicional. Por ejemplo, utilizando la representación y los métodos geoestadísticos de predicción espacial multivariante, se pueden obtener en principio superficies de predicción solamente en los k instantes temporales $t_{i} ,\  i=1, \ldots, k$, 
y no es posible la interpolación temporal sin modelado adicional (ver Sección 5.3.5).

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## Referencias 
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