[A-L] (2023/24) Foglio 2 - Esercizio 7

[Elia-Belli]

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• (7.1) $a \cdot (-b) = - (a \cdot b) = (-a) \cdot b$

  • Dimostriamo $a \cdot (-b) = - (a \cdot b)$:
    Per la proprietà distributiva di $\cdot$ : $a(-b) + a \cdot b = a(-b+b) = a \cdot 0=0$, allora $a(-b)$ è inverso additivo per $(a\cdot b)$ ma lo è anche $-(a\cdot b)$, allora $a(-b)=-(a\cdot b)$ per unicità dell'inverso.
  • Dimostriamo analogamente $- (a \cdot b) = (-a) \cdot b$:
    per la proprietà distributiva di $\cdot$ : $(-a) \cdot b + (a \cdot b)= (-a+a)\cdot b =(0)\cdot b=0$, allora $(-a)\cdot b)$ è inverso additivo per $(a\cdot b)$ ma lo è anche $-(a\cdot b)$, allora $-(a\cdot b)=(-a)\cdot b$ per unicità dell'inverso.
  • Allora $a \cdot (-b) = (-a) \cdot b$.

• (7.2) $(-a)\cdot (-b) -(a\cdot b) = (-a)\cdot (-b) +(-a)\cdot b = (-a)\cdot (-b+b) = (-a)\cdot 0 = 0$, allora $(-a)\cdot (-b)$ è inverso per $-(a\cdot b)$ ma lo è anche $(a\cdot b)$ allora $(-a)\cdot (-b)= a \cdot b$ per unicità dell'inverso.

• (7.3) $a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c$
  $a \cdot (b-c) = a \cdot b + (a \cdot (-c))$, che per la (7.1) diventa $a\cdot b + (-(a\cdot c))= a \cdot b - a \cdot c$

[CiottoloMaggico]

analogo @Elia-Belli