[A-L] (2023/24) Lezione 8 - Esercizio 1

[Elia-Belli]

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• Sia $a \neq 0$, se $a|b \Rightarrow MCD(a,b)=|a|$

Suggerimento (S): utilizzare la seguente osservazione dimostrata in classe, $a|b\ \land\ a|c \Rightarrow a|bx+cy,\ \forall x,\forall y$

[Elia-Belli]

Soluzione realizzata con @CiottoloMaggico

Dobbiamo dimostrare che $|a|\geq 1$, che $|a|$ divide $a$ e $b$, e che $|a|$ è il massimo dei divisori (ogni altro comun divisore divide $|a|$):

• Per ipotesi $a\neq 0$ allora per definizione di modulo $|a|>0$, ovvero $|a|\geq 1$;
• $|a|$ divide $a$, infatti possiamo scrivere $a = |a|c$ prendendo $c=1$;
• Per ipotesi $a|b \Rightarrow \exists\ c_1 \in \mathbb{Z}\ |\ b = ac_1$
  Voglio mostrare che $|a|$ divide $b$, ovvero che possiamo scrivere $b = |a|c_2$, per fare ciò basta prendere $c_2=-c_1$ se $a<0$ e $c_2=c_1$ quando $a>0$;
• E' possibile scrivere $|a|=ax_0+by_0$ scegliendo $x_0=1,y_0=0$ se $a>0$, o $x_0=-1,y_0=0$ se $a<0$;
  Sia $d' : d'|a\ \land\ d'|b$, per la (S): $d'|ax+by,\ \forall x,\forall y \Rightarrow d'|ax_0+by_0$, ovvero $d'|(|a|)$, ovvero $|a|$ è il massimo dei comun divisori.