[A-L] (2023/24) Lezione 09/10/2023 - Esercizio 1

[Elia-Belli]

Esercizio 2: Sia $(G,\star)$ un gruppo, verificare che $(g\ \star\ h)^{−1}= h^{−1}\ \star\ g^{−1}, \forall g, h \in G$.

Suggerimento: utilizzate l’unicità dell’inverso.

[Elia-Belli]

Dimostriamo che entrambi i lati dell'equazione sono inversi per $(g \star h)$:

• Per definizione di elemento inverso: $(g \star h)^{-1} \star (g \star h) = e$;

• Sia $k = h^{-1} \star g^{-1}$, sfruttando l'associatività di $\star$:
  $(g \star h) \star k= g \star (h \star k)= g \star (h \star (h^{-1} \star g^{-1})) = g \star ((h \star h^{-1}) \star g^{-1})= g \star (e \star g^{-1}) = g \star g^{-1} = e$

Allora $(g \star h)^{-1}$ e $(h^{-1} \star g^{-1})$ sono entrambi inversi per $(g \star h)$, siccome l'inverso è unico allora essi sono uguali.

[CiottoloMaggico]