[A-L] (2023/24) Foglio 4 - Esercizio 14

[Elia-Belli]

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Prodotto Cartesiano di Anelli

Un anello $(A,+,\cdot)$ soddisfa le seguenti proprietà:

1. $(A,+)$ è un gruppo commutativo;
2. L'operazione $\cdot$ è associativa;
3. Vale la distributività di $\cdot$ rispetto a $+$;

• $(A \times B,+)$ è un gruppo commutativo
  Come mostrato in [Foglio 4] Esercizio 13 #51 il prodotto cartesiano di due gruppi commutativi ha naturale struttura di gruppo commutativo: per ipotesi $(A,+_A)$ e $(B,+_B)$ sono gruppi commutativi $\Rightarrow (A\times B,+)$ è un gruppo commutativo con elemento neutro $0:=(0_A,0_B)$

• Associatività di $\cdot$
  Siano $a,a',a'' \in A, b,b',b'' \in B$, devo dimostrare che $((a,b)\cdot (a',b'))\cdot (a'',b'')=(a,b)\cdot ((a',b')\cdot (a'',b''))$:
  $((a,b)\cdot (a',b'))\cdot (a'',b'')=(a\cdot_A a',b \cdot_B b')\cdot (a'',b'')=((a\cdot_A a') \cdot_A a'',(b \cdot_B b')\cdot_B b'')$
  $(a,b)\cdot ((a',b')\cdot (a'',b''))=(a,b)\cdot(a'\cdot_A a'',b' \cdot_B b'')=(a\cdot_A (a' \cdot_A a''),b \cdot_B (b'\cdot_B b''))$
  Che sono equivalenti per l'associatività di $\cdot_A,\cdot_B$

• Distributività di $\cdot$ rispetto a $+$
  Siano $a,a',a'' \in A, b,b',b'' \in B$, devo dimostrare le seguenti due proprietà:

  1. $((a,b)+(a',b'))\cdot (a'',b'')=((a,b)\cdot (a'',b''))+((a',b')\cdot (a'',b''))$
  2. $(a'',b'')\cdot ((a,b)+ (a',b')) =((a'',b'')\cdot (a,b))+((a'',b'')\cdot (a',b'))$
     Partiamo dalla (i):
     $=(a+_Aa',b+_Bb')\cdot (a'',b'')=((a+_Aa')\cdot_A a'',(b+_Bb')\cdot_B b'')$, per distributività di $\cdot_A,\cdot_B$ rispetto a $+_A,+_B$ diventa:
     $((a\cdot_Aa'')+_A(a'\cdot_Aa''),(b\cdot_Bb'')+_B(b'\cdot_Bb''))=((a\cdot_Aa''),(b\cdot_Bb''))+((a'\cdot_Aa''),(b'\cdot_Bb''))=$
     $=((a,b)\cdot (a'',b''))+((a',b')\cdot (a'',b''))\ \square$
     Analogamente (ii):
     $=(a'',b'')\cdot((a+_Aa',b+_Bb'))=(a''\cdot_A(a+_Aa'),b''\cdot_B(b+_Bb'))$ per distributività di $\cdot_A,\cdot_B$ rispetto a $+_A,+_B$ diventa:
     $((a''\cdot_Aa)+_A(a''\cdot_Aa'),(b''\cdot_Bb)+_B(b''\cdot_Bb'))=((a''\cdot_Aa),(b''\cdot_Bb))+((a''\cdot_Aa'),(b''\cdot_Bb'))=$
     $=((a'',b'')\cdot (a,b))+((a'',b'')\cdot (a',b'))\ \square$

Conclusione: il prodotto cartesiano di anelli ha naturale struttura di anello.

Prodotto Cartesiano di Anelli commutativi unitari

Per dimostrare che ciò vale anche per anelli commutativi unitari basta aggiungere le seguenti proprietà:

1. L'operazione $\cdot$ è commutativa
2. Esiste elemento neutro per $\cdot$

• Commutatività di $\cdot$ :
  $$(a,b)\cdot(a',b')=(a\cdot_A a',b\cdot_B b')=(a'\cdot_A a,b'\cdot_B b)=(a',b')\cdot(a,b)\ \cdot$$
• Elemento neutro moltiplicativo
  Sia $1:=(1_A,1_B)$ l'elemento neutro commutativo:
  $$(a,b)\cdot(1_A,1_B)=(a\cdot_A 1_A,b\cdot_B 1_B)=(a,b)\ \square$$
  Conclusione: il prodotto cartesiano di anelli commutativi unitari ha naturale struttura di anello commutativo unitario.

[CiottoloMaggico]

Analogo @Elia-Belli