[Esame di prova 30 dicembre 2023] Esercizio 5

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

$$L_A\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_2\\ x_4 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=x_1\begin{vmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ -1 \end{vmatrix}+x_2\begin{vmatrix} 5\\ 4\\ -3\\ -7 \end{vmatrix}+x_3\begin{vmatrix} 0\\ -1\\ 2\\ 3 \end{vmatrix}+x_4\begin{vmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x_1+5x_2+x_4\\ x_1+4x_2-x_3\\ -3x_2+2x_3+x_4\\ -x_4-7x_2+3_x3+x_4 \end{vmatrix}$$

Trovo un base $\mathcal{B}$ di $Im(L_A)$: Riduco $A$ ad una matrice trovo la posizione dei pivots che indicano la posizione dei vettori linearmente indipendenti in $A$ , quindi una base di $ImA$.

$$A=\begin{vmatrix} 2 & 5& 0& 1 \\ 1& 4& -1& 0 \\ 0&-3 & 2 & 1 \\ -1& -7& 3& 1 \end{vmatrix}\longrightarrow S=\begin{vmatrix} -1 & -7& 3& 1 \\ 0& -3& 2& 1 \\ 0&0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0& 0 \end{vmatrix}$$

Quindi $A^1,A^2$ sono colonne linearmente indipendenti che costituiscono la base $\mathcal{B}=\{\underline{v}_1,\underline{v}_2\}$

$$\underline{v}_1=\begin{vmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ -1 \end{vmatrix},\underline{v}_2=\begin{vmatrix} 5\\ 4\\ -3\\ -7 \end{vmatrix}$$

Quindi già sappiamo che $dim(Ker(L_A))=dim\mathbb{R}^4-dim(Im(L_A))=4-2=2$, risolvo allora il sistema omogeneo dato da $S\underline{x}=O$ per trovare la base $\mathcal{C}$ del nucleo.

$$\left\{ \begin{array}{cl} x_1=x_3-4x_2 \\ x_2=x_2\\ x_3=x_3\\ x_4=3x_2-2x_3 \end{array} \right.$$

$$\mathcal{C}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 0\\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}$$

Trovo le equazioni cartesiane di $Im(L_A)$, riducendo a scala la matrice formata da $\underline{v}_1,\underline{v}_2$, e trovando le coordinate di $\underline{x}$ che azzerano le $n-rg(Im(L_A))$ righe.

$$Im(L_A)=\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 1& 4 \\ 0& -3 \\ -1& -7 \end{vmatrix}\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\longrightarrow \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \\ 0& -3 \\ -1& -7 \end{vmatrix}\begin{matrix} x_1-2x_2-x_3\\ x_2+x_4-x_3\\ x_3 \\ x_4\end{matrix}$$

[Elia-Belli]

[Frisbon]

Non mi viene KerLA, potreste dirmi dove ho sbagliato?

[cornflexxx]

Non hai ridotto bene a scala $A$, ti manca una riga da annullare