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Fall 2014: Analyse III
[TOC]
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$n$ -uplet : pour$n\in\mathbb N$ tel que$n > 1$ , on note$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n$ un$n$ -uplet de nombres réels. Par exemple pour$n=2$ , on a$(x_1,x_2)=(x,y)$ et pour$n=3$ ,$(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$ . -
champ scalaire : fonction à valeurs réels définies sur
$\Omega\subset\mathbb R^n$ :$\scalaire$ -
champ vectoriel : fonction à valeurs dans
$\mathbb R^n$ définie sur$\Omega\subset\mathbb R^n$ :$\vectoriel$ où$F_i$ est un champ scalaire pour$i=1,\ldots,n$ -
classe de régularité : pour
$k\in\mathbb N$ on écrit$f\in C^k(\Omega)$ si toutes les dérivées partielles d'ordre$\le k$ existent et sont continues sur$\Omega$ . On écrit$F\in C^k(\Omega,\mathbb R^n)$ si$f_i\in C^k(\Omega)$ pour$i=1,\ldots,n$ -
nabla : opérateur différentiel vectoriel
$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n})$ -
gradient :
$\text{grad }f(x)=(\nabla f)(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x))$ où$\text{grad }f:\Omega\to\mathbb R^n$ définit un champ vectoriel -
divergence :
$\text{div }F(x)=(\nabla\cdot F)(x)=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x)+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x)$ où$\text{div }F:\Omega\to\mathbb R$ est un champ scalaire -
rotationnel dans
$\R^2$ :$\text{rot }F(x,y)=\frac{\partial f_2}{\partial x}(x, y)-\frac{\partial f_1}{\partial y}(x, y)$ où le résultat est un champ scalaire -
rotationnel dans
$\R^3$ : $\text{rot }F(x, y, z)=(\nabla\wedge F)(x,y,z)=\begin{vmatrix}\hat e_1 &\hat e_2 & \hat e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ f_1 & f_2 & f_3 \end{vmatrix}$ où le résultat est un champ vectoriel -
Laplacien :
$(\Delta f)(x)=(\nabla^2\cdot f)(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x)+ \cdots+ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(x)$ où$\Delta f:\Omega\to\mathbb R$ est un champ scalaire
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courbe simple régulière :
$\Gamma\subset\mathbb R^n$ s'il existe un interval$[a,b]\subset\mathbb R^n$ et une paramétrisation $\begin{align}\gamma:[a,b]&\to\mathbb R^n\\ t&\mapsto \gamma(t)=(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t))\end{align}$ telle que$\Gamma=\gamma([a,b])={x\in\mathbb R^n: \exists t\in[a,b],x=\gamma(t)}$ -
$\gamma$ est injective sur$[a,b[$ :$\forall t_1, t_2\in[a,b[, t_1\not=t_2\implies\gamma(t_1)\not=\gamma(t_2)$ $\gamma\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$ $||\gamma'(t)||=\sqrt{\gamma_1'(t)^2+\cdots+\gamma_n'(t)^2}\not=0;\forall t\in[a,b]$
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courbe fermée :
$\Gamma\subset\mathbb R^n$ est une courbe simple régulière fermée si en plus$\gamma(a)=\gamma(b)$ (possible car injective sur$[a,b[$ ) -
courbe par morceaux :
$\Gamma\subset\mathbb R^n$ est une courbe simple régulière par morceaux s'il existe$\Gamma_1,\ldots,\Gamma_k$ des courbes simples réguilières par morceaux telles que$\Gamma =\cup^k_{i=1} \Gamma_i$ . -
intégrale curviligne sur champ scalaire : avec$f:\Gamma\to\mathbb R$ continu, on a
$\int_\Gamma f \d l=\int_a^b f(\gamma(t)):\norm{\gamma'(t)}\d t$ - longueur de la courbe : en choissant
$f=1$ , on a$\t{longueur}(\G)=\int_\G \d l =\int_a^b \norm{\g'(t)}\d t$ -
intégrale curviligne sur champ vectoriel : avec un champ vectoriel continu,
$\int_\G F\cdot\d l=\int_a^b F(\g(t))·\g'(t)\d t$ (donne le travail effectué pour déplacer une particule sommaire au champ de forces$F$ le long de la courbe$\G$ ) - intégrale par morceaux : si
$\G=\cup^k_{i=1}\G_i$ alors$\int_\G f\d l=\sum^k_{i=1}\int_\G f \d l$ et$\int_{\G_i} F\cdot\d l=\sum^k_{i=1}\int_{\G_i}F\cdot\d l$ -
potentiel (champ conservatif) : si
$F=\grad f$ alors$F$ est appelé un champ conservatif et$f$ s'appelle le poteniel de$F$ - unicité : si un potentiel existe, il est défini à une constante réele près
-
connexe :
$\ouvert$ est convexe si pour tout$x\in\O$ et tout$y\in\O$ le segment de droite joignant$x$ à$y$ est entièrement contenu dans$\O$ , c'est-à-dire si pour$t\in[0,1]$ et$\forall x,y \in\O$ on a$x+t(y-x)\in\O$ -
conditions d'existence :
- une condition nécessaire : si
$F$ dérive d'un potentiel sur$\O$ alors$\frac{\p F_i}{\p x_j}(x)=\frac{\p F_i}{\p x_i}(x);\forall i,j=1\ldots n;\forall x\in\O$ (ne garantit pas un potentiel et équivalente à dire que$\rot F$ est nul) - une condition suffisante :
$\O$ doit être convexe, simplement connexe (sans trou) pour que$F$ dérive d'un potientiel
- une condition nécessaire : si
-
équivalence :
-
$F$ dévrive d'un potentiel sur$\O$ -
$\int_{\G_1}F\cdot\d l=\int_{\G_2}F\cdot\d l$ pour toutes courbes simples régulières par morceaux et$\G_1,\G_2$ joignant deux pooints quelconques de$\O$ -
$\int_\G F\cdot\d l=0$ pour toute courbe simple fermée régulière par morceaux$\G\in\O$
-
-
détermination :
- si
$\rot F\not= 0$ sur$\O\implies F$ ne dérive pas d'un potentiel - si
$\rot F = 0$ sur$\O$ convexe$\implies F$ dérive d'un potentiel - si
$\rot F=0$ sur$\O$ pas convexe$\implies$ aucune information - si on trouve une courbe fermée
$\G\in\O$ telle que$\int_\G F\cdot\d l \not =0\implies F$ ne dérive pas d'un potentiel (l'inverse n'est pas vrai)
- si
-
bord : est une courbe simpel fermée régulière par morceaux tel que
$\do={x\in\R^2:\O\cap D_r(x)\not = \emptyset,; (\R^2 \backslash\O)\cap D_r(x)\not=\emptyset;\forall r > 0}$ où$D_r(x)={y\in\R^2 : \norm{y-x}< r }$ est un disque ouvert de$R^2$ de rayon$r$ centré, on note$\bar\O=\O\cup\do$ l'adhérence de$\O$ -
sens de parcours :
$\do$ est orienté positivement (négativement) si lorsqu'on parcourt$\do$ on laisse le domaine$\O$ à gauche (droite) -
tagente/normale : pour une paramétrisation
$\param$ de$\do$ , le vecteur tangent à$\do$ en$x$ est$\tau=(\g_1'(t),\g_2'(t))$ et le vecteur normal à$\do$ en$x$ donné par$\nu(x)=(\g_2'(t), -\g_1'(t))$ est une normale extérieure$\O$ -
domaine régulier : on dit qu'un ouvert borné
$A\in\R^2$ est un domaine régulier s'il existe des ouverts$A_0,\ldots,A_m\subset\R^2$ tels que :-
$\d A_j=\G_j$ pour$j=0,\ldots,m$ sont des courbes simples, fermées, régulière par morceaux -
$\bar A_j\subset A_0$ pour tout$j=1,\ldots,m$ -
$\bar A_i \cap \bar A_j =\emptyset;\forall i,j=1,\ldots,m$ avec$i\not=j$ $A = A_0\backslash \cup^m_{j=1}\bar A_j$ - on dit que
$\d A =\G_0\cup\cdots\cup\G_m$ est orienté positivement si le sens de parcours sur chaque$\G_j$ pour$j=0,\ldots,m$ laisse le domaine$A$ à gauche. C'est-à-dire que le bord$\G_0$ est orienté positivement (son parcours laisse$A_0$ à gauche) tandis que les "trous"$\G_1\ppp\G_m$ sont orientés négativement (leurs parcours laissent$A_1\ppp A_m$ à droite)
-
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théorème de Green : soit
$A\subset\R^2$ un domaine régulier dont le bord$\d A$ est orienté positivement et soit$\f F{\bar A}{\R^2}{(x,y)}{F(x,y)}$ un champ vectoriel tel que$F\in C^1(\bar A, \R^2)$ alors :$\boxed{\displaystyle\iint_A\rot F(x,y) \d x\d y=\int_{\d A} F\cdot\d l}$ - attention au sens des trous lors de la paramétrisation des bords : pour un disque
$A={(x,y)\in\R^2 : 1 < x^2+y^2< 4}$ on a$\G_0 ={\g_0(t)=(2\cos t,2\sin t);t\in[0,2\pi]}$ et$\G_1 ={\g_0(t)=(\cos t,\sin t);t\in[0,2\pi]}$ ainsi$\int_{\d A}F\cdot \d l=\int_{\G_0}F\cdot\d l-\int_{\G_1}F\cdot\d l$ . -
théorème de la divergence dans
$\R^2$ : soit$A\subset\R^2$ un domain régulier dont le bord$\d A$ est orienté positivement, soit$\nu:\d A\to\R^2$ un champ de normales unités extérieurs à$A$ et soient$F:\bar A\to\R^2$ un champ vectoriel tel que$F\in C^1(\bar A,\R^2)$ et $f:\bar A\to\R$un champ scalaire tel que$F\in C^2(\bar A)$ alors$\boxed{\displaystyle\iint_A \div F(x,y)\d x\d y = \int_{\d A} (F\cdot\nu)\d l}$ et$\boxed{\displaystyle\iint_A \Delta f(x,y)\d x \d y=\int_{\d A}(\grad f\cdot\nu)\d l}$
- composante : pour une fonction
$f:\R^2\to\R^3$ , on note$f(x,y)=(f^1(x,y),f^2(x,y),f^3(x,y))$ où$f^i:\R^2\to\R$ (l'indice en haut repère la composante). - dérivée partielle : pour une fonction
$g(x,y)$ , on note$\frac{\p g}{\p x}=g_x$ et$\frac{\p g}{\p y}=g_y$ (indices en bas donnent la variable par rapport laquelle on dérive). -
surface régulipre :
$\S\subset\R^3$ est apelée une surface régulière si :- il existe
$A\in\R^3$ un ouvert borné tel que le bord$\d A$ soit une courbe simple fermée régulière par morceaux - il existe une paramétrisation
$\f \s{\bar A}{\R^3}{(u,v)}{\s(u,v)=(\s^1(u,v),\s^2(u,v),\s^3(u,v))}$ satisfaisant$\s\in C^1(\bar A,\R^3)$ ,$\s(\bar A)=\S$ et$\s$ injective sur$A$ et un vecteur $\s_u \wedge \s_v = \begin{vmatrix}\hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \\ \s_u^1 & \s_u^2 & \s_u^3 \\ \s_v^1 & \s_v^2 & \s_v^3 \end{vmatrix}$ tel que$\norm{\s_u\wedge\s_v}\not =0,\forall(u,v)\in A$
- il existe
- vecteur normal unité :
$\nu(u,v)=\frac{\s_u\wedge\s_v}{\norm{\s_u\wedge\s_v}}$ à la surface$\S$ du point$\s(u,v)$ -
surface par morceaux : on dit que
$\S\subset\R^3$ est une surface régulière par morceaux s'il existe$\S_1\ppp\S_k$ des surfaces régulières telles que$\S=\cup^k_{i=1} \sum_i$ . -
orientation : une surface régulière par morceaux est dite orientable s'il existe un champ de normales unités
$\nu:\S\to\R^3$ continu. Un tel champ de normales s'appelle une orientation de$\S$ . Une surface$\S$ orientée par un champ de normales est noté$(\S,\nu)$ . -
intégrale de surface sur champ scalaire (orientable et continu) :
$\iint_\S f\d s = \iint_A f(\s(u,v));\norm{\normale}\d u\d v$ - aire :
$aire(\S)=\iint_\S\norm\normale\d u\d v$ -
intégrale de surface sur champ vectoriel (orientable et continu) :
$\iint_\S F\cdot\d s=\iint_A[F(\s(u,v))\cdot(\normale)]\d u\d v$ (il s'agit du flux de$F$ à travers la surface$\S$ dans la direction$\nu$ ) - réécriture avec la normale unité :
$\iint_\S F\cdot\d s=\iint_A[F(\s(u,v))\cdot\nu(u,v)]\norm\normale\d u\d v$ - intégrale par morceaux : pour une surface régulière par morceaux on définit l'intégrale comme la somme des intégrales des morceaux.
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domaine régulier : on dit qu'un ouvert borné
$\O\in\R^3$ est un domain régulier s'il existe des ouverts$\O_0\ppp\O_m\subset\R^3$ tels que :-
$\d\O_j=\S_j$ pour$j=0\ppp m$ sont des surfaces régulières par morceaux orientables avec un champ de normales unités $\bar\O_j\subset\O_0;\forall j=1\ppp m$ $\bar\O_i\cap\bar\O_j=\emptyset;\forall i,j = 1\ppp m; i\not = j$ -
$\O =\O_0\backslash \cup^m_{j=1}\bar \O_j$ possède un champ de normales extérieurs (lorsqu'on considère les surfaces "trous"$\S1\ppp\S_m$ elles sont intéreures par rapport aux domains$\O_1\ppp\O_m$ )
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théorème de la divergence : soit
$\O\subset\R^3$ un domain régulier et$\nu:\d\O\to\R^3$ un champ de normales unitées extérieures à$\O$ défini par$\nu=(\nu_1,\nu_2,\nu_3)$ , soit$F:\bar\O\to\R^3$ un champ vectoriel tel que$F\in C^1(\bar\O,\R^3)$ défini par$F=(F_1,F_2,F_3)$ alors$\boxed{\displaystyle\iiint_\O \div F(x,y,z)\d x\d y\d z =\iint_{\d\O}(F\cdot\nu)\d s}$ -
sens de parcours :
- si
$\S\subset\R^3$ est une surface régulière et$\s:\bar A\to\S$ est une paramétrisation de$\S$ alors le bord de$\S$ (noté$\d\S$ ) est donné par$\d\S=\s(\d A)$ est indépendant du choix de la paramétrisation - le sens de parcours de
$\d\S$ induit par la paramétrisation$\s$ est celui obtenu en parcourant$\d A$ dans le sens sens positif - si
$\d a$ est une courbe simple fermée régulière par morceaux alors on a$\s(\d A)=\G_1\cup\cdots\cup\G_m$ et pour obtenir le bord de$\S$ on procède de la façon suivante. On supprime de$\s(\d A)$ les courbes$\G_i$ qui se réduisent à un seul point et celles qui sont parcourues deux fois (une fois dans un sens, une fois dans l'autre). Ce qui reste après avoir appliqué ce procédé est le bord de$\S$ désigné par$\d\S$
- si
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Théorème de Stokes : soit
$\S\subset\R^3$ une surface régulière par morceaux et orientable, soit$F:\S\to\R^3$ un champ vectoriel tel que$F\in C^1(\S,\R^3)$ alors :$\boxed{\displaystyle\iint_\S \rot F\cdot\d s=\int_{\d\S}F\cdot\d l}$
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périodicité : une fonction
$\f f \R \R x {f(x)}$ est dite$\peri T$ s'il existe$T>0$ tel que$f(x+T)=f(x);\forall x\in\R$ , de plus a restriction de$f$ à l'interval$[0,T[$ caractérise complétement$f$ $\int_a^{a+T}f(x)\d x=\int_0^T f(x)\d x;\forall a\in\R$
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continuité par morceaux : une fonction
$f:\R\to\R$ est dite continue par morceaux sur l'interval$[a,b]$ s'il existe des points ${x_i}^{n+1}{i=0}$ avec $a=x_0< x_1 < \cdots < x_n < x{n+1}=b$ tels que pour$i=0\ppp n$ on ait :-
$f$ est continue sur chaque interval$]x_i,x_{i+1}[$ - la limite à droite
$\lim_{t > x_i \to x_i} f(t)=f(x_i+0)$ et la limite à gauche$\lim_{t < x_{i+1}\to x_{i+1}}f(t)=f(x_{i+1}-0)$ existent et sont finies
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régulière par morceaux : on dit que
$f$ est régulière par morceaux sur$[a,b]$ si de plus on a :-
$f'$ existe et est continue par morceaux sur chaque interval$]x_i,x_{i+1}[$ - la limite à droite
$f'(x_i+0)$ et celle à gauche$f'(x_{i+1}-0)$ existent et sont finies
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série de Fourier partielle : $F_Nf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^N_{n=1}[a_n\co+b_n\si]$où les coefficients de Fourier
$a_n$ et$b_n$ de$f$ sont données par-
$a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\co\d x$ pour$n=0\ppp N$ -
$b_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\si\d x$ pour$n=1\ppp N$
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série de Fourier : on appelle série de Fourier de
$f$ la limite lorsque$N\to\infty$ (si elle existe) de$F_Nf(x)$ , on écrit alors$Ff(x)=\lim_{N\to\infty}=\frac{a_0}{2}\sum_{n=1}^\infty a_n\co+b_n\si$ . -
théorème de Dirichlet : soit
$f:\R\to\R$ une fonction$\peri T$ régulière par morceaux alors$Ff(x)=\lim_{N\to\infty}F_Nf(x)$ existe pour tout$x\in\R$ et :$Ff(x)=\frac{f(x+0)+(f(x-0))}{2}$ -
série de Fourier complexe : sachant
$e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi$ on peut réécrire la série :$Ff(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_n e^{\ein}$ où$c_n\in\mathbb C$ donné par$c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x) e^{-\ein}$ -
propriété des séries de Fourier :
- sa série de Fourier est aussi
$\peri T$ - si
$f$ est paire ($f(-x)=f(x);\forall x\in \R$ ) on a$b_n=0;\forall n \ge 1$ et sa série de Fourier est aussi une fonction paire - si
$f$ est impaire ($f(-x)=-f(x);\forall x\in\R$ ) on a$a_n=0;\forall n \ge 0$ et sa série de Fourier est aussi une fonction impaire - si régulière par morceaux alors (
$a_n$ et$b_n$ sont les coefficients de Fourier) :$\frac{2}{T}\int_0^T[f(x)]^2\d x=\frac{a_0^2}{2}\sum^\infty_{n=1}(a_n^2+b_n^2)$ - dérivation terme à terme converge pour
$x\in\R$ et on a :$\sum^\infty_{n=1}\frac{2\pi n}{T}[-a_n\si+b_n\co]=\frac{1}{2}[f'(x+0)+f'(x-0)]$
- sa série de Fourier est aussi
-
série de Fourier en cosinus : soit
$f:[0,L]\to\R$ et soit$f'$ continue par morceaux alors$F_cf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos(\frac{\pi n}{L}x)$ où$a_n=\frac{2}{L}\int^L_0f(x)\cos(\frac{\pi n}{L}x)\d x$ pour$n=0,1,...$ converge vers$f$ dans l'interval$[0,L]$ et on a$f(x)=F_cf(x);\forall x\in[0,L]$ . -
série de Fourier en sinus : soit
$f:[0,L]\to\R$ une fonction continue avec$f(0)=f(L)=0$ telle que$f'$ soit continue par morceaux alors$F_sf(x)=\sum^\infty_{n=1}b_n\sin(\frac{\pi n}{L}x)$ où$b_n=\frac{2}{L}\int^L_0f(x)\sin(\frac{\pi n}{L}x)\d x$ pour$n=1,2,...$ elle converge vers$f$ dans l'interval$[0,L]$ et on a$f(x)=F_sf(x);\forall x\in[0,L]$ (la condition$f(0)=f(L)=0$ assure que la fonction doublement étendue est continue) -
résolution d'équation : trouver la solution
$\peri{T}$ désignée par$y(x)$ d'équation du type$\alpha y(x)+\beta y(x-\pi)=f(x)$ ou$\alpha y''(x)+\beta y'(x)+\gamma y(x)=f(x)$ avec$f(x)$ étant une fonction$\peri{T}$ continue sur$[0,T[$ - calcul de
$Ff(x)$ - on cherche les solutions écrites sous forme de séries de Fourier
$y(x)=\frac{A_0}{2}+\sum_1^\infty[A_n\cos(nx)+B_n\sin(nx)]$ - on utilise les dérivées des série de Fourier
$y(x-\pi)=\frac{A_0}{2}\sum^\infty_1[(-1)^n A_n \cos(nx)+(-1)^nB_n\sin(nx)]$ $y'(x)=\sum^\infty_1[-nA_n\sin(nx)+nB_n\cos(nx)]$ $y''(x)=\sum^\infty_1[-n^2A_n\cos(nx)-n^2B_n\sin(nx)]$
- on intégre les expressiosn de
$Ff(x)$ ,$y(x)$ ,$y(x-\pi)$ ,$y'(x)$ ,$y''(x)$ dans l'équation et on identifie les coefficients respectifs de$\cos(nx)$ et$\sin(nx)$ pour déterminer$A_n$ et$B_n$ en fonction de$a_n$ et$b_n$
- calcul de
- Fourier comme espace vectoriel : on considère
$\nu={\forall \ff : \peri T \t{continue}}$ , on montre que$\nu$ est un espace vectoriel et on définit le produit sclaire de$f\in\nu$ et de$g\in\nu$ par$(f,g)=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)g(x)\d x$ alors l'ensemble des fonctions$\beta={{u_n(x)=\co},{v_n(x)=\si}}$ est une base orthogonale de$\nu$ car$(u_0,u_0)=2$ et$(u_j,u_k)=\delta_{jk}\cases{1\t{ si }j=k\\ 0\t{ si }j\not=k}$ (Kronecker) et ainsi la série de Fourier d'une fonction$f\in\nu$ qui s'écrit$Ff(x)=\frac{a_0}{2}U_0(x)+\sum^\infty_1[a_nU_n(x)+b_nV_n(x)]$ peut s'interpréter comme la décomposition de$f$ dans la base$\beta$ car$a_n=(f,U_n)$ et$b_n=(f,V_n)$ .
-
condition : soit
$\f f \R \R x {f(x)}$ une fonction continue par morceaux telle que$\int^\infty_{-\infty}|f(x)|\d x<\infty$ -
transformée de Fourier de
$f$ : (on écrit aussi $\hat f(\alpha)=\mathbb F(f)(\alpha)$)$\f {\hat f}\R{\mathbb C}\alpha{\hat f(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-i\alpha x}\d x}$ -
transformée de Fourier inverse de
$f$ :$\f {\hat f^{-1}}\R{\mathbb C}x{\hat f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}f(\alpha)e^{i\alpha x}\d\alpha}$ -
théorème de réciprocité : soit
$\ff$ une fonction telle que$f$ et$f'$ soient continues par morceaux avec$\int^\infty_{-\infty}|f(x)|\d x <\infty$ et$\int^\infty_{-\infty}|\hat f(\alpha)|\d\alpha <\infty$ alors pour tout$x\in\R$ on a$\hat f (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\hat f(\alpha)e^{i\alpha x}\d\alpha=\frac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)]$ -
continuité :
$\F f$ est continue$\forall \alpha\in\R$ et$\lim_{\alpha\to\pm\infty}|\F f (\alpha)|=0$ -
linéarité :
$\F{af+bg}=a\F f + b\F g;\forall a,b\in\R$ -
produit de convolution de deux fonctions
$f$ et$g$ : $\f{fg}\R\R x {(fg)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\d t}$. -
transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est égal au produit des transformées de Fourier de chaque fonction
$\hat{f*g}=\sqrt{2\pi}\hat f \hat g$ -
transformée de Fourier de la dérivée : si de
$f\in C^n(\R)$ et$\int^\infty_{-\infty}|f^k(x)|\d x <\infty$ pour$k=1\ppp n$ alors$\hat f^k(\alpha)=(i\alpha)^k,\hat f(\alpha)$ -
identitié de Plancherel : si
$\int^\infty_{-\infty}|[f(x)]^2|\d x <\infty$ alors on a$\int_{-\infty}^\infty[f(x)]^2\d x=\int_{-\infty}^\infty[\F f(\alpha)]^2\d \alpha$ -
parité :
- si la fonction
$f$ est paire alors on a$\F f(\alpha)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty f(x)\cos(\alpha x)\d x$ qui est appelée la transformation de Fourier en cosinus de$f$ - si la fonction
$f$ est impaire alors on a$\F f(\alpha)=-i\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty f(x)\sin(\alpha x)\d x$ qui est appelée la transformation de Fourier en sinus de$f$
- si la fonction
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ $\sqrt{b}-\sqrt{a}=\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$ -
$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}$ when$x << 1$ $e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$ - geometric series : converge to
$\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}$ if$|r|<1$ - Riemann series :
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p^\alpha}$ converges if$\alpha >1$
$2\sin^2 t = 1-\cos 2t$ $2\cos^2 x = 1+\cos 2x$ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ $\tan^2 x +1=\frac{1}{\cos^2 x}$ $\cot^2 x +1=\frac{1}{\sin^2 x}$ $\sin 0 = \frac{1}{2}\sqrt{0} = \cos \pi/2 = 0$ -
$\sin \pi/6 = \frac{1}{2}\sqrt{1} = \cos \pi/3 = \frac{1}{2}$ $\sin \pi/4 =\frac{1}{2}\sqrt{2} = \cos \pi/4 =\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \pi/3 = \frac{1}{2}\sqrt{3} = \cos \pi/6=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \pi/2 = \frac{1}{2}\sqrt{4} = \cos 0 = 1$ $\cosh z =\frac{e^z+e^{-z}}{2}$ $\sinh z =\frac{e^z-e^{-z}}{2}$ $\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cosh iz$ $\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\sinh iz}{i}$ $e^z=\cosh z +\sinh z=\cos z+i\sin z$ $e^{-z}=\cosh z -\sinh z$ $\cosh^2 z -\sinh^2 z = 1$ $\sin mx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin (m+n)x + \sin (m-n)x]$ $\cos mx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos (m+n)x + \cos (m-n)x]$ $\sin mx\sin nx=\frac{1}{2}[-\cos (m+n)x + \cos (m-n)x]$
- 3D
- Ellipse
$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2+(\frac{z}{c})^2=1$ - Hyperboloid 1 sheet
$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2-(\frac{z}{c})^2=1$ (nuclear reactor) - Hyperboloid 2 sheet
$(\frac{x}{a})^2-(\frac{y}{b})^2-(\frac{z}{c})^2=1$ (two bowl) - Cone
$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2-(\frac{z}{c})^2=0$ - Elliptic paraboloid
$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=\frac{z}{c}$ (bowl) - Hyperbolic Paraboloid
$(\frac{x}{a})^2-(\frac{y}{b})^2=\frac{z}{c}$ (saddle)
- Ellipse
- 2D
- Ellipse
$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$ - Hyperboles
$(\frac{x}{a})^2-(\frac{y}{b})^2=1$
- Ellipse
$\tan'x=\sec^2x$ $\csc'x = -\csc x\cot x$ $\sec'x = \sec x\tan x$ $\cot'x = -\csc^2x$ $\sin'^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\cos'^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\tan'^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$ $\csc'^{-1}x = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ $\sec'^{-1}x = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ $\cot'^{-1}x = -\frac{1}{1+x^2}$ - inverse function :
$(f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ or$(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$ $\div\grad f=\Delta f$ $\rot\grad f=\vec 0$ $\div\rot F=0$ $\div(f\grad g)=f\Delta g +\grad f\cdot\grad g$ $\grad(fg)=f\grad g+g\grad f$ $\div(fF)=f\div F+F\cdot\grad f$ $\rot\rot F=-\Delta F +\grad\div F$ $\rot(fF)=\grad f\wedge F+f\rot F$
$\int \ln x dx = x \ln x - x$ $\int x \ln xdx= \frac{1}{4}x^2(2\ln x -1)$ $\int \frac{1}{x\log x}dx=\log (\log x)$ $\int \frac{1}{x\log^2 x}dx=-\frac{1}{\log x}$ $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|$ $\int a^x dx = \frac{1}{\ln a} a^x$ $\int \tan x dx = \ln |\sec x| $ $\int \frac{a}{a^2+x^2}dx = \tan^{-1}\frac{x}{a}$ $\int \frac{a}{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \cosh^{-1} \frac{x}{a}$ $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \sinh^{-1} \frac{x}{a}$ $\int \sin^{-1} x dx=\sqrt{1-x^2}+x\sin^{-1} x$ $\int \cos^{-1} x dx=-\sqrt{1-x^2}+x\cos^{-1} x$ $\int \tan^{-1} x dx=-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+x\tan^{-1} x$ $\int \sin x \cos xdx = -\frac{1}{2}\cos^2 x$ $\displaystyle\int^\pi_{-\pi} 1\cdot \cos (nx), dx=\left.\frac{1}{n}\sin (nx)\right|^{\pi}_{-\pi}=0.$ $\quad\displaystyle\int^\pi_{-\pi} 1\cdot \sin (nx),dx=\left.-\frac{1}{n}\cos (nx)\right|^{\pi}_{-\pi}=0.$ $\displaystyle\int^\pi_{-\pi} \sin (nx)\cos (nx),dx=\left.\frac{\sin^2 (nx)}{2n}\right|^{\pi}_{-\pi}=0.$ $\displaystyle\int^\pi_{-\pi} \sin (mx)\sin(nx),dx=0$ $\displaystyle\int^\pi_{-\pi} \cos (mx)\cos(nx),dx=0$ $\displaystyle\int^\pi_{-\pi} \sin (mx)\cos(nx),dx=0$ - $\int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}} \sin^n x , dx = \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}} \cos^n x , dx= \begin{cases}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{if }n\text{ is even} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & \text{if }n\text{ is odd and more than 1}\end{cases}$
$\int_{{-c}}^{{c}}\sin {x};\mathrm{d}x = 0 !$ $\int_{{-c}}^{{c}}\cos {x};\mathrm{d}x = 2\int_{{0}}^{{c}}\cos {x};\mathrm{d}x = 2\int_{{-c}}^{{0}}\cos {x};\mathrm{d}x = 2\sin {c} !$ $\int_{{-c}}^{{c}}\tan {x};\mathrm{d}x = 0 !$ $\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}};\mathrm{d}x = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)},!$ $\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}};\mathrm{d}x = \frac{a^3(n^2\pi^2-6(-1)^n)}{24n^2\pi^2} = \frac{a^3}{24} (1-6\frac{(-1)^n}{n^2\pi^2}) \qquad\mbox{(for }n=1,2,3,...\mbox{)},!$ $\int_{{0}}^{{2 \pi}}\sin^{2m+1}{x}\cos^{2n+1}{x};\mathrm{d}x = 0 ! \qquad {n,m} \in \mathbb{Z}$ $\int_0^{2\pi} \sin x \cos^2 x \d x=0$ $\int_0^{2\pi} \sin^2 x \cos x \d x=0$ $\int_0^{2\pi} \sin^2 x \d x=\pi$ $\int_0^{2\pi} \cos^2 x \d x=\pi$ $\int_0^{2\pi} \sin^4 x \d x=\frac{3\pi}{4}$ $\int_0^{2\pi} \cos^4 x \d x=\frac{3\pi}{4}$ $\int_0^{2\pi} \sin^2 x \cos^2 x \d x=\frac{\pi}{4}$ $\int x\sin x\d x=\frac{\sin(n x)-n x \cos(n x)}{n^2}$ $\int x\cos x\d x=\frac{nx\sin(n x)+ \cos(n x)}{n^2}$ $\frac{2}{T}\int_0^T\co\cos(\frac{2\pi m}{T}x)\d x=\frac{2}{T}\int_0^T\si\sin(\frac{2\pi m}{T}x)\d x\cases{0 &\t{si }n\not=m\\ 1 &\t{si }n=m}$ $\int_0^T\si\cos(\frac{2\pi m}{T}x)\d x=0$
$\frac{1}{1-ax}=\sum_{n=0}^\infty (ax)^n=1+ax+ax^2+ax^3+\cdots$ $\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=1-x+x^2-x^3+\cdots$ $\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$ $\sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ $\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$ $\tan^{-1} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$ $ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
- Jacobian : $J=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\begin{vmatrix} \frac{dx}{du}&\frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du}&\frac{dy}{dv}\end{vmatrix}$
-
substitution :
$\int_{\mathbb D}f(\vec x) d\vec x = \int_S f(T(\vec u)) J d\vec u$ - polar coordinates :
$x = r \cos \theta\quad y = r\sin\theta\quad J=r$ and$\int_{\mathbb D}f(\vec x)d\vec x = \int_a^b \int_{g(\theta)}^{f(\theta)} f(r,\theta)r dr d\theta$ - cylindrial coordinates :
$x = r \cos \theta\quad y = r\sin\theta\quad z=z \quad J=r$ - spherical coordinates :
$x = \rho \sin \phi \cos \theta\quad y = \rho \sin\phi\sin\theta\quad z=\rho\cos\phi \quad J=\rho^2\sin \phi$ where$0 \le \theta \le 2\pi$ and$0\le \phi\le\pi$ (starting on the positive y-axis side) - affine transformations : (exemple : barycentric coordinates)
$\vec x = \vec v_1 \beta_1 + \vec v_2 \beta_2 \quad 0 \le \beta_i \le 1 \quad \beta_1+\beta_2=1$ - rotation matrix : $A=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
| Courbes |
Surface |
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|---|---|---|
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| Intégrale champ scalaire | ||
| Intégrale champ vectoriel |