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@TwoFX
TwoFX committed Jul 16, 2018
1 parent a4f8c48 commit 37a8391
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@@ -1,7 +1,7 @@
\documentclass[a4paper, parskip=half,11pt]{scrartcl}

\usepackage[l2tabu, orthodox]{nag}
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\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2.2cm, bottom=2.5cm]{geometry}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
Expand Down Expand Up @@ -207,19 +207,42 @@
%\section{Der Einbettungssatz}
\setcounter{section}{1}
Es sei stets $\cat{A}$ eine kleine abelsche Kategorie.
\begin{proposition}\label{1-14-1}
\begin{lemma}\label{1-14-1}
Es sei $F\colon\cat{D}\to\ccat{Ab}^{\cat{A}}$ ein filtriertes Diagramm
linksexakter additiver Funktoren. Dann ist auch $\colim_{D\in\cat{D}} F(D)$
linksexakt und additiv.
\end{proposition}
\end{lemma}
\p{\begin{proof}
Ohne.
\end{proof}}
\begin{definition}[Die Einbettung]
Für eine Kategorie $\cat{D}$ und einen Funktor $\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$
definiere $U\coloneqq\colim_{D\in\cat{D}} (Y\circ\phi)(D)$, wobei $Y$ die
kontravariante Yoneda-Einbettung bezeichnet.
\begin{definition}[Die Einbettung in $\ccat{Ab}$]
Wir definieren die Einbettung $U\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$ durch
$U\coloneqq \colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), {-})$.
Die Kategorie $\cat{D}$ und der Funktor $\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$ sind
noch zu konstruieren.
\end{definition}
\begin{overview}
Für $A\in\cat{A}$ ist $U(A)=\colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), A)\in\ccat{Ab}$.
Ist $\cat{D}$ kofiltriert, so ist $x\in U(A)$ eine Äquivalenzklasse
von Morphismen der Form $\alpha\colon \phi(D)\to A$ für ein $D\in\cat{D}$.
$\alpha\colon\phi(D)\to A$ und $\beta\colon\phi(D')\to A$ sind äquivalent
genau dann wenn $D''\in\cat{D}$, $d\colon D''\to D$, $d'\colon D''\to D'$
existieren, sodass das Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
\phi(D'')
\ar{r}{\phi(d)}
\ar{d}{\phi(d')} \n
\phi(D)
\ar{d}{\alpha} \\
\phi(D')
\ar{r}{\beta} \n
A
\end{tikzcd}
\]
kommutiert. Ist $g\colon A\to B$ ein Morphismus in $\cat{A}$, so gilt
$U(g)([\alpha]) = [g\circ\alpha]$.
\end{overview}
\begin{lemma}
Ist $\cat{D}$ kofiltriert, so ist $U$ linksexakt.
\end{lemma}
Expand All @@ -235,7 +258,7 @@
\end{proof}}
\begin{lemma}
Es sei $\cat{D}$ kofiltriert. Weiter besitze jeder Epimorphismus
$f\colon A\to\phi(D)$ in $\cat{A}$ die Darstellung $f = \phi(d)$, wobei
$f\colon A\twoheadrightarrow\phi(D)$ in $\cat{A}$ die Darstellung $f = \phi(d)$, wobei
$d\colon D'\to D$ in $\cat{D}$. Dann erhält $U$ Epimorphismen.
\end{lemma}
\p{\begin{proof}
Expand Down Expand Up @@ -304,43 +327,46 @@
Wir konstruieren eine kleine Kategorie $\cat{D}$ und einen Funktor
$\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$, die die Voraussetzungen der vorangegangenen
Hilfssätze erfüllen.
$\cat{D}$ ist eine Poset-Kategorie und durch (vollständige) Induktion definiert: $\cat{D}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}\cat{D}_n$ und
$\phi$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n$ ($n\in\mathbb{N}_0$), unter folgenden Voraussetzungen:
$\cat{D}$ ist eine Poset-Kategorie und durch (vollständige) Induktion definiert: $\cat{D}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}\cat{D}_n$,
wobei $\cat{D}_0\subseteq \cat{D}_1\subseteq\cdots$.
$\phi$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n\colon \cat{D}_n\to\cat{A}$ ($n\in\mathbb{N}_0$).
$\cat{D}_n$ und $\phi_n$ sollen folgende Eigenschaften haben:
\begin{enumerate}[label=(\arabic*),noitemsep]
\item Für $a, b\in\cat{D}_n$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
\item Für $n\leq m$ fallen $\phi_n$ und $\phi_m$ auf $\cat{D}_n$ zusammen;
\item $\phi_n(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $n\in\mathbb{N}_0$ und
für jeden Morphismus $d$ in $\cat{D}_n$;
\item $\forall A\in\cat{A}\ \exists D\in\cat{D}_1:\phi_1(D)= A$;
\item $\forall A\in\cat{A}, D\in\cat{D}_n, f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)
\ \exists d\in\cat{D}_{n+1}, d\colon D'\to D: \phi_{n+1}(d)=f$.
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}$ ist $[D_1, D_2]_{\cat{D}_n}\coloneqq\set{D\in\cat{D}_n\given
D_1\leq D\leq D_2}$ endlich.
\item $\forall A\in\cat{A}, D\in\cat{D}_n, f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)\,\text{epi}
\ \exists d\in\cat{D}_{n+1}, d\colon D'\to D: \phi_{n+1}(d)=f$;
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n}\coloneqq\set{D\in\cat{D}_n\given
D_1\leq D\leq D_2}~\text{endlich}$;
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n} = [D_1, D_2]_{\cat{D}_{n+1}}$.
\end{enumerate}
$\cat{D}_0\coloneqq\set{*}$; $\phi_0(*)\coloneqq 0_\cat{A}$.
$\cat{D}_n$ und $\phi_n$ werden durch (transfinite) Induktion definiert: $\cat{D}_{n+1}\coloneqq\bigcup_\alpha\cat{D}_n^\alpha$
und $\phi_{n+1}$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n^{\alpha}$, wobei die $\alpha+1$ alle
Paare der Form $(D, f)$, $D\in\cat{D}_n$, $f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)$ durchnummerieren und
mit $\cat{D}_n^0\subseteq\cat{D}_n^1\subseteq\cdots$
und $\phi_{n+1}$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n^{\alpha}\colon \cat{D}_n^\alpha\to\cat{A}$, wobei die Successor Ordinals $\alpha+1$ alle
Paare der Form $(D, f)$, $D\in\cat{D}_n$, $f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)$ epi durchnummerieren und
folgende Voraussetzungen gelten:
\begin{enumerate}[label=(\alph*),noitemsep]
\item Für $a, b\in\cat{D}_n^\alpha$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
\item Für $\beta<\alpha$ fallen $\phi_n^\alpha$ und $\phi_n^\beta$ auf $\cat{D}_n^\beta$;
\item Für $\beta<\alpha$ fallen $\phi_n^\alpha$ und $\phi_n^\beta$ auf $\cat{D}_n^\beta$ zusammen;
\item $\phi_n^\alpha(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $\alpha$ und jeden
Morphismus $d$ in $\cat{D}_n^\alpha$;
\item Es sei $(D, f)$ das von $\alpha$ indizierte Paar, wobei
$f\colon A\to\phi_n(D)$. Dann existiert $d\colon D'\to D$ in
$\cat{D}_n^\alpha$, sodass $\phi_n^\alpha(d) = f$.
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}^\alpha$ ist $[D_1, D_2]_{\cat{D}_n^\alpha}$ endlich.
$\cat{D}_n^\alpha$, sodass $\phi_n^\alpha(d) = f$;
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}^\alpha: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n^\alpha}~\text{endlich}$;
\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}^\alpha, \beta>\alpha: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n^\alpha} = [D_1, D_2]_{\cat{D}_{n}^{\beta}}$.
\end{enumerate}
Es sei $(\cat{D}_n^\alpha,
\phi_n^\alpha)$ definiert und $\alpha+1$ bezeichne das Paar $(D, f)$.
$\down{D}\coloneqq\set{D'\in\cat{D}_n^\alpha\given D'\leq D}$
$\down{D}\coloneqq\set{D'\in\cat{D}_n^\alpha\given D'\leq D}$. Definiere
$\cat{D}_n^{\alpha+1}\coloneqq\cat{D}_n^\alpha\amalg\down{D}$. $D'^*$
bezeichnet die Kopie von $D'\leq D$ aus $\down{D}$. Halbordnung durch
Ordnungen auf $\cat{D}_n^\alpha$ und $\down{D}$ und durch die Relation
$D'^*\leq D'$ ($D'\leq D)$. $\phi_n^{\alpha+1}(D^*)\coloneqq A$,
Ordnungen auf $\cat{D}_n^\alpha$ und $\down{D}$ und durch die Relationen
$D'^*\leq D'$ für $D'\leq D$. $\phi_n^{\alpha+1}(D^*)\coloneqq A$,
$\phi_n^{\alpha+1}\coloneqq f$. Rest durch Pullbacks:
\[
\begin{tikzcd}[column sep=8em]
Expand Down Expand Up @@ -598,7 +624,7 @@
Faktorisierung
\[
\begin{tikzcd}
\cat{A}(\Gamma D_0, {-}) \arrow{r}{s_{D_0}} & \colim_{D\leq D_0}\cat{A}(\Gamma D, {-}) \arrow{r}{\alpha} & F.
\cat{A}(\Gamma D_0, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{s_{D_0}} & \colim_{D\leq D_0}\cat{A}(\Gamma D, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{\alpha} & F.
\end{tikzcd}
\]
$s_{D_0}$ ist hierbei der kanonische Morphismus des Colimes.
Expand Down Expand Up @@ -653,7 +679,7 @@
\end{proof}}
\begin{theorem}[von der volltreuen Einbettung; Einbettungssatz von Freyd-Mitchell]
Für jede kleine abelsche Kategorie existieren ein Ring $R$ und eine volltreue
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der $R$-Moduln.
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der (links-)$R$-Moduln.
\end{theorem}
%\o{\begin{overview}
% $R\coloneqq\ccat{Nat}(U, U)$. Für $A\in\cat{A}$ ist $U(A)$ durch $r\cdot x\coloneqq r_A(x)$
Expand Down
23 changes: 12 additions & 11 deletions slides.tex
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Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -68,21 +68,22 @@
\maketitle
\end{frame}
\begin{frame}{Das Ziel\ldots}
\begin{satz}[von der volltreuen Einbettung; Einbettungssatz von Freyd-Mitchell]
\begin{satz}[von der volltreuen Einbettung]
Für jede kleine abelsche Kategorie existieren ein Ring $R$ und eine volltreue
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der $R$-Moduln.
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der (links-)$R$-Moduln.
\end{satz}
\end{frame}
\begin{frame}{Schlachtplan}
\begin{proposition}
\begin{hilfssatz}
Es sei $F\colon\cat{D}\to\ccat{Ab}^{\cat{A}}$ ein filtriertes Diagramm
linksexakter additiver Funktoren. Dann ist auch $\colim_{D\in\cat{D}} F(D)$
linksexakt und additiv.
\end{proposition}\pause
\end{hilfssatz}\pause
\begin{definition}[Die Einbettung in $\ccat{Ab}$]
Für eine Kategorie $\cat{D}$ und einen Funktor $\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$
definiere $U\coloneqq\colim_{D\in\cat{D}} (Y\circ\phi)(D)$, wobei $Y$ die
kontravariante Yoneda-Einbettung bezeichnet.
Wir definieren die Einbettung $U\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$ durch
$U\coloneqq \colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), {-})$.
Die Kategorie $\cat{D}$ und der Funktor $\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$ sind
noch zu konstruieren.
\end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}{Wunschliste an $\cat{D}$ und $\phi$}
Expand All @@ -91,7 +92,7 @@
\end{hilfssatz}\pause
\begin{hilfssatz}
Es sei $\cat{D}$ kofiltriert. Weiter besitze jeder Epimorphismus
$f\colon A\to\phi(D)$ in $\cat{A}$ die Darstellung $f = \phi(d)$, wobei
$f\colon A\twoheadrightarrow\phi(D)$ in $\cat{A}$ die Darstellung $f = \phi(d)$, wobei
$d\colon D'\to D$ in $\cat{D}$. Dann erhält $U$ Epimorphismen.
\end{hilfssatz}\pause
\begin{hilfssatz}
Expand Down Expand Up @@ -135,16 +136,16 @@
Faktorisierung
\[
\begin{tikzcd}
\cat{A}(\Gamma D_0, {-}) \arrow{r}{s_{D_0}} \n \colim_{D\leq D_0}\cat{A}(\Gamma D, {-}) \arrow{r}{\alpha} \n F.
\cat{A}(\Gamma D_0, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{s_{D_0}} \n \colim_{D\leq D_0}\cat{A}(\Gamma D, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{\alpha} \n F.
\end{tikzcd}
\]
$s_{D_0}$ ist hierbei der kanonische Morphismus des Colimes.
\end{hilfssatz}
\end{frame}
\begin{frame}{Der letzte Schrei}
\begin{satz}[von der volltreuen Einbettung; Einbettungssatz von Freyd-Mitchell]
\begin{satz}[von der volltreuen Einbettung]
Für jede kleine abelsche Kategorie existieren ein Ring $R$ und eine volltreue
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der $R$-Moduln.
und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der (links-)$R$-Moduln.
\end{satz}
\end{frame}
\end{document}

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